理解资产价格

2013 年的诺贝尔经济学奖颁给了三个人：Eugene Fama、Lars Peter Hansen 和 Robert Shiller。这个组合颇具戏剧性——Fama 是有效市场假说之父，Shiller 是行为金融学的旗手，两人在"市场是否有效"这个根本问题上几乎针锋相对；Hansen 则发明了检验双方主张的计量武器。把奖同时发给"正方、反方和裁判"，恰恰是委员会的深意：五十年的研究殊途同归——资产价格由理性的风险补偿和人的行为共同驱动，谁也没有全对，谁也没有全错。

为普及三人的成果，诺贝尔奖委员会专门撰写了综述性文章《理解资产价格》（Understanding Asset Prices, 2013），把过去半个世纪的重要发现串成一条主线。本附录以它和 Cochrane（2005）的经典教材为蓝本，分两步走：A.1–A.6 自下而上把定价理论搭起来——效用、一阶条件、随机折现因子、三个推论、CCAPM 与 CAPM、股权溢价之谜；A.7–A.8 沿时间线走一遍实证史，最后回望正文，看清全书公式的理论出处。

A.1效用与风险厌恶：一切从凹函数开始

定价理论要回答的问题是：一张明天才兑现、金额还不确定的"彩票"，今天应该值多少钱？要回答它，必须先刻画买彩票的人——他有多在乎钱、有多怕不确定。经济学刻画这件事的工具是效用函数。

A.2两期消费—投资问题：定价方程的诞生

有了效用函数，就能把"买资产"放进一个最小可用的决策模型。投资者站在 $t$ 时刻，手里有收入，面前有一个价格为 $P$ 的资产。买多了，今天的日子紧；买少了，明天没保障。资产价格恰好诞生在这个权衡的平衡点上。先写下投资者的总目标：

无穷期看着吓人，其实两期就足以推出全部结论。设投资者今天有收入 $e_t$、明天有收入 $e_{t+1}$，可以按价格 $P_{i,t}$ 购买 $\xi$ 份资产 $i$，该资产明天支付 $x_{i,t+1}$（随机）。买了 $\xi$ 份之后，两期消费分别是：

把约束代入目标函数，对唯一的选择变量 $\xi$ 求导并令其为零（$u$ 凹保证这是最大值点）：

整理一下，就得到原书的一阶条件：

两边同乘 $P_{i,t}$，价格被单独解出来：

A.3随机折现因子：P = E[mx]

式 (A10) 里 $\delta\,u'(c_{t+1})/u'(c_t)$ 这一坨反复出现，值得拥有一个自己的名字。

把 (A11) 代回 (A10)，就得到全书反复引用的那行字：

把期望按状态摊开，能看得更透。设明天世界处于状态 $s$ 的概率为 $\pi_{t+1}(s)$：

A.4三个推论：利率、溢价与 β 表示

$P=\E[mx]$ 看着抽象，三步初等变形就能把它变成你熟悉的东西。先做两个约定：以下把条件期望 $\E_t$ 简写为 $\E$；并改用总收益 $R_i = x_i / P_i$（即 1 + 收益率）来写。两边除以 $P_i$，(A2) 变成一行更顺手的等式：

推论一：无风险利率是 E[m] 的倒数

考虑一个明天在每个状态都支付 1 元的资产（一期无风险债券），它的价格是 $\E[m\cdot 1]=\E[m]$，总收益是 $1/\E[m]$：

推论二：溢价只等于与 m 的协方差

对任意资产，把 $1=\E[mR_i]$ 用协方差恒等式 $\E[mR_i]=\E[m]\E[R_i]+\Cov(m,R_i)$ 展开，再用推论一代掉 $\E[m]$，移项得 $\E[R_i]-R_f = -R_f\,\Cov(m,R_i)$。写成超额收益 $R_i^e = R_i - R_f$ 的形式：

同一件事的价格形式也值得看一眼。对 $P_i = \E[m x_i]$ 做同样的分解：

价格 = "风险中性"的折现现值 + 风险调整项。与 $m$ 正相关的 payoff（保险）加价，负相关的（股票）减价。DCF 只保留了第一项。

推论三：β 表示——多因子模型的骨架

把推论二右端拆成"资产自己的量 × 全市场统一的价"，就得到和第 1 章式 (1.2) 一模一样的结构：

更一般地，"用因子写 β 定价"与"$m$ 是因子的线性函数"是同一句话，这是连接 SDF 理论与因子投资实务的桥：

两套语言的对照表，建议存进肌肉记忆：

A.5m 的两个具体形状：CCAPM 与 CAPM

推论一到四完全不依赖 $m$ 的具体形式——这既是优点（普适），也是空洞之处（不给数值预测）。要让理论"开口报数"，必须给 $m$ 一个形状。理论史上有两个经典答案。

CCAPM：m 由消费增长决定

CAPM：m 由市场收益决定

沿这条思路往后走：Merton（1973）的跨期资本资产定价模型（ICAPM）指出，除了市场财富，还存在影响未来投资机会的状态变量（state variables），每一个都对应 $m$ 的一个维度、也就对应一个因子。Fama and French（1996）正是把自家的三因子模型解读为 ICAPM 的多因子版本，并猜测价值因子与公司财务困境风险有关——尽管"规模、价值究竟代理了哪个状态变量"至今没有定论（第 3、4 章的核心悬案）。

A.6股权溢价之谜：理论输给了数据

CCAPM 把 $m$ 落到了可观测的消费数据上，终于能做定量预测了。把它对准美国历史数据的那一刻，酿成了实证资产定价史上最著名的一次失败。先把预测式写出来。对 CRRA 折现因子取对数正态近似（推导见 Cochrane 2005），溢价公式变得非常好算：

代入合理的数字：$\sigma_c \approx 2\%$、$\sigma_M \approx 18\%$、$\rho \approx 0.4$。取 $\gamma = 10$（合理区间的上限），理论溢价约 $10 \times 0.4 \times 0.02 \times 0.18 \approx 1.4\%$。而美国股市的历史超额收益约 6%。要碰到 6%，需要 $\gamma \approx 42$；哪怕把相关系数拉满到 1，也需要 $\gamma \approx 17$——全都远在合理区间之外。

从校准到正式检验：GMM 登场

直接把 CCAPM 按进数据并不容易：模型对参数是非线性的；要为消费指定完整的随机过程；误差还带时序相关。20 世纪 70 年代末的两种妥协——校准加非正式统计（Grossman–Shiller 一路）、或者强加一堆具体假设把模型线性化——都拒绝了 CCAPM，但后者的拒绝始终说不清：到底是理论不行，还是附加假设不行？

僵局被 Hansen（1982）的广义矩估计（generalized method of moments, GMM）打破。GMM 把模型写成一组矩条件 $\E[f(x_t, b_0)] = 0$ 来估计和检验，对数据过程的要求极宽（弱平稳加各态历经即可），对 $f$ 的形状也几乎不设限（允许非线性）——恰好对上资产定价"非线性 + 残差相关"的痛点。注意 $1=\E[mR]$ 本身就是一组现成的矩条件，量身定做一般。GMM 的数学细节见原书 2.7 节（本手册第 2 章）。

Hansen and Singleton（1982）用 GMM 对 CCAPM 做了第一次干净利落的正式检验，结论：拒绝。从数据里估出的时变 $m$ 完全解释不了资产价格的高波动。如果说此前学术界对 CCAPM 还心存幻想，这一次幻想破灭得明明白白——锅再也甩不给"线性化假设"了。

Hansen and Jagannathan（1991）用美国股市数据算出这条下界大约在 0.5：合格的 $m$ 的波动率不能低于 50%。而 CCAPM 下 $\sigma(m) \approx \gamma\,\sigma_c \approx 0.02\gamma$——想够到 0.5，又是 $\gamma \approx 25$ 这种量级。结论清晰而难堪：$m$ 确实在剧烈波动（这是 A.7 里 Shiller"过度波动"发现的另一种说法），但平滑的消费加合理的风险厌恶，造不出这么大的波动。

A.7百年脉络：从不可预测到行为金融

前六节自下而上搭理论；这一节按时间顺序走一遍实证发现——正是它们逼着理论一步步演化。原书这一部分以诺贝尔奖综述为主线，四幕依次展开。

短期：价格几乎不可预测

先看很短的时间尺度。相邻两个时点之间，无风险利率近似为零、$m$ 在各状态间的差异也来不及展开，可以近似取 $m \approx 1$；再设短窗口内没有股息、payoff 就是明天卖出的价格 $x_{t+1}=P_{t+1}$。代入 $P=\E[mx]$：

把这个预言钉进数据的人是 Fama。他 1965 年发表的博士论文（此前 Samuelson、Mandelbrot 已有理论先声）第一次系统检验了短期收益率的统计性质：序列相关性检验、游程检验（runs test）、过滤准则检验（filter test，用交易规则过滤收益序列、看能否战胜买入持有）——三路证据齐指向"短期不可预测"。有效市场（efficient market）概念应运而生。Fama（1970）进一步给出两件影响至今的东西：一是联合假说问题（检验市场有效必须先假设一个定价模型，见第 1 章概念卡）；二是市场效率的三级分类：

到 20 世纪 70 年代，"资产价格短期内不可预测"成为共识。这是人们理解资产价格迈出的第一步。

长期：过度波动与均值回复

短期不可预测，长期呢？这是 80 年代的主战场，主角换成 Shiller。逻辑仍从 $P=\E[mx]$ 出发：股票今天的价格应当等于未来全部股息折现值的预期。定义"事后才知道的"基本面价值：

预报和实际值之间差一个预测误差 $\varepsilon_{i,t}$。最优预报的误差与预报时可用的一切信息（包括 $P_{i,t}$ 本身）不相关，于是对两边取方差时交叉项消失：

行为金融：给 m 的波动另一种解释

提起行为金融，很多人先想到心理学家 Kahneman 与 Tversky，或者行为经济学家 Thaler。但就行为金融学（behavioral finance）本身而言，学界公认的奠基之作是 Shiller（1984）的噪声交易者模型——日后蔚为大观的行为金融文献多从这里起步。

截面：从 CAPM 检验到三因子

以上都是时间序列问题：同一资产的价格如何随时间演化。还剩一个自然的问题：同一时刻，为什么这只股票比那只贵？按 $P=\E[mx]$，截面差异只能来自现金流的差异与"现金流和 $m$ 咬合方式"的差异。是什么变量刻画了这种咬合？这是 50 年来截面研究的总纲。

截面的第一范式是 CAPM。最著名的两次早期检验是 Black et al.（1972）与 Fama and MacBeth（1973）——后者发明的"逐期截面回归、再对时间取平均"两步法规避了残差的截面相关，成为沿用至今的通用武器（第 2 章的主角之一）。最初的检验大体支持 CAPM；70 年代起单个异象零星出现但未成气候；直到 Fama and French（1992）把此前的异象整合起来，给了 CAPM 致命一击，并顺势提出替代品——Fama–French 三因子模型（Fama and French 1993）：市场之外加入规模与价值。旧模型退场的唯一方式是更好的新模型上位，FF3 由此拉开多因子实证研究的序幕，一路演到五因子模型（Fama and French 2015）与今天的"因子动物园"（第 4、6 章）。

把整条脉络钉在一张时间线上：

A.8从这里回看全书

合上附录之前，把理论的线头和正文一一接起来。

第 1 章"因子的两个必要条件"是定理，不是经验法则。第 1 章开篇说：因子必须（1）驱动资产收益的共同运动、与协方差矩阵有关；（2）长期被定价、有溢价。现在两条都有了出处——推论二说，溢价有且只有一个来源：与 $m$ 的协方差。一个变量若不驱动收益的共同波动，它就不可能与 $m$ 系统性地协变，谈不上被定价；反过来，一段与 $m$ 正交的收益波动，无论多大都不产生溢价，只是可分散的噪声。两个必要条件其实是同一句话的两半：因子必须是 $m$ 的（某个成分的）代理变量。这就是"为什么因子必须与协方差有关"的最终答案。

多因子模型是给 $m$ 找线性代理（推论四）。式 (1.2) 的每一次使用，都暗含"这几个因子的线性组合逼近了 $m$"的赌注。挑模型 = 比谁逼近得好；α = 逼近误差；第 2 章的 GRS、GMM 检验，检验的正是矩条件 $\E[mR^e]=0$ 在样本里是否成立。第 3、4 章的规模、价值、动量等因子之所以有入场资格，是因为有理由相信它们各自捕捉了"坏日子"的某个维度——尽管每个因子背后"究竟代理了 $m$ 的哪个成分"至今仍在争论。

异象的两种读法对应两大学派（第 5、6 章）。发现显著的 α，要么是模型漏掉了 $m$ 的成分（理性派：继续找因子），要么是价格真的偏离了 $\E[mx]$（行为派：情绪定价 + 套利限制让偏离存活）。Fama 与 Shiller 的毕生对峙就是这两种读法的对峙，而 2013 年的同台领奖等于承认：数据同时给了两边各一部分理由。今天的共识是，系统性风险与投资者行为偏差是驱动资产价格的两台引擎——第 6 章的行为金融框架和第 7 章的实务方法，分别在为这两台引擎建模。

实务的根基也在这里（第 7 章）。组合优化、Barra 风险模型、业绩归因，全部搭在收益的协方差结构上——不是因为协方差好算，而是因为理论说，协方差才是被定价的东西、才是需要管理的风险。

原书结尾借纪录片《徒手攀岩》里的说法收束：人类的认知每隔一段时间需要一次重大跃迁。Fama 钉下"短期不可预测"，Shiller 掀翻"波动来自基本面"，Hansen 铸出检验一切模型的量具——三次跃迁叠在一起，才有了今天我们手里这张理解资产价格的地图。因子投资，就是沿着这张地图做工程。

import numpy as np

pi = np.array([0.6, 0.4])            # 状态概率：好 / 坏
c0 = 100.0
c1 = np.array([115.0, 88.0])         # 明天两状态的消费
gamma, delta = 3.0, 0.99

# (1) 随机折现因子与无风险利率
m = delta * (c1 / c0) ** (-gamma)    # 每个状态一个 m
Em = pi @ m
Rf = 1.0 / Em
print(f"m(好)={m[0]:.4f}  m(坏)={m[1]:.4f}  E[m]={Em:.4f}  Rf-1={Rf-1:.2%}")

# (2)(3) 定价并验证 推论二
assets = {
    "无风险债券": np.array([1.0, 1.0]),
    "顺周期股票": np.array([130.0, 75.0]),
    "保险":       np.array([60.0, 120.0]),
}
for name, x in assets.items():
    p = pi @ (m * x)                 # 价格 = sum pi * m * x
    R = x / p                        # 两状态的总收益
    ER = pi @ R
    prem = ER - Rf                   # 风险溢价
    cov_mR = pi @ (m * R) - Em * ER  # 按概率加权的协方差
    print(f"{name}: 价格={p:.2f}  E[R]-1={ER-1:.2%}  "
          f"溢价={prem:+.2%}  -cov(m,R)/E[m]={-cov_mR/Em:+.2%}")

import numpy as np

sigma_c, sigma_R, rho, hist_prem = 0.02, 0.18, 0.4, 0.06

# (1) 理论溢价 vs gamma
for gamma in [1, 2, 5, 10, 20, 50]:
    prem = gamma * rho * sigma_c * sigma_R
    print(f"gamma={gamma:3d}: 理论溢价 = {prem:.2%}")

# (2) 匹配历史溢价所需的 gamma
gamma_star = hist_prem / (rho * sigma_c * sigma_R)
gamma_min  = hist_prem / (sigma_c * sigma_R)          # rho=1 的下限
print(f"匹配 6% 需要 gamma ≈ {gamma_star:.1f}；即便 rho=1 也要 {gamma_min:.1f}")

# (3) Hansen–Jagannathan 下界（E[m] 约等于 1）
sharpe = hist_prem / sigma_R
print(f"市场夏普比率 ≈ {sharpe:.2f}，故 sigma(m) 至少 ≈ {sharpe:.2f}")
print(f"CRRA 下 sigma(m) ≈ gamma*sigma_c，故 gamma 至少 ≈ {sharpe/sigma_c:.0f}")

# (4) gamma=40 对 ±10% 消费抛硬币的确定性等价
gamma = 40.0
u  = lambda c: c ** (1 - gamma) / (1 - gamma)
Eu = 0.5 * u(0.9) + 0.5 * u(1.1)
ce = ((1 - gamma) * Eu) ** (1 / (1 - gamma))
print(f"gamma=40: CE = {ce:.3f}，愿付 {1-ce:.1%} 的消费消除一个 ±10% 的赌局")