多因子模型

4.1七大主流多因子模型

先交代一个背景：本节介绍的所有模型都是针对美国股票市场提出的。原因有二——美股是全球最重要的股票市场；现代金融学又诞生于美国的顶尖学府，学者拿身边的数据做研究顺理成章。好在这些模型经过多年检验，其中不少已被成功移植到其他国家的市场（4.2、4.3 节就是在 A 股上的应用）。

七个模型不是孤立出现的，它们构成两条清晰的"血统"：风险/理性定价血统（Fama–French 系与 q-factor 系——分歧在于风险从哪推导出来）和行为金融血统（把 α 的来源归结为错误定价）。下表是这张族谱的时间线：

要强调的是，新模型的提出虽然都以"取代旧模型"为目标，但学术界至今没有就孰优孰劣达成一致——FF3 依然是实证研究中被使用最广的基准模型，而 q-factor、SY、DHS 这些从完全不同角度出发的模型，则极大拓宽了人们理解资产定价的视野。下面逐一拆解。

Fama–French 三因子模型（1993）

20 世纪 70 年代之后，CAPM 的麻烦不断：Basu（1977）发现盈利市值比（earnings-to-price，EP）高的股票收益系统性偏高；Banz（1981）发现小市值股票收益系统性偏高；随后账面市值比（book-to-market，BM）、债务市值比（debt-to-market，DM）效应也相继被发现。单个异象只是"打脸"，Fama 和 French（1992）则把这些异象整合到一起，证明它们共同指向 CAPM 的系统性失效。但要摒弃一个旧模型，唯有拿出一个更好的新模型——这就是 Fama and French（1993）三因子模型的由来：在市场因子之外加入规模（Small-Minus-Big，SMB）与价值（High-Minus-Low，HML）两个因子。

FF3 提出后逐步取代 CAPM 成为资产定价的第一范式，也接受了最密集的检验：Davis 等（2000）把数据回溯到 1927 年，Fama 和 French（1998）在其他国家市场上复现，Fama 和 French（2008）用它审查 CAPM 解释不了的各种异象。至于 SMB 和 HML 为什么赚钱，Fama 和 French（1996）猜想它们与上市公司的财务困境风险（distress risk）有关，并把 FF3 定位为 Merton（1973）跨期资本资产定价模型（Intertemporal CAPM，ICAPM）的多因子版本——SMB、HML 是某些"状态变量"的代理。但这两个因子究竟代理了什么状态变量，至今没有定论。

Carhart 四因子模型（1997）

FF3 开创性十足，"适用性"却有限——很多异象它解释不掉，其中最扎眼的是截面动量（cross-sectional momentum）：Jegadeesh 和 Titman（1993）发现，用 $t-12$ 到 $t-1$ 月这 11 个月的累计收益率给股票排序，做多"赢家"、做空"输家"，能获得显著超额收益。刻意跳过最近一个月，是因为市场存在短期反转（Jegadeesh 1990）——上个月涨得猛的股票下个月往往回吐，不剔除会污染中期动量信号。

Carhart（1997）在研究共同基金业绩持续性时，把动量因子（momentum，MOM）直接加进 FF3：

构造上，Carhart 的动量因子是七个模型里的特例：不做双重排序，而是每月末把三大交易所全部股票按 $t-12$ 到 $t-1$ 月累计收益率单变量排序，做多前 30%、做空后 30%，且多空两头内部都采用等权重（而非市值加权）。动量组合每月再平衡——动量信号衰减快，一年一调根本来不及。

Novy-Marx 四因子模型（2013）

下一块拼图是盈利。Novy-Marx（2013）提出：盈利能力强的公司，未来预期收益也更高，且这个效应的预测力堪比 BM。他据此提出一个四因子模型——注意，这个模型没有规模因子：

构造上，Novy-Marx（2013）沿用 FF 的 2×3 模板：分别用 logBM、$t-12$ 到 $t-1$ 月累计收益率、GP 三个变量与市值做双重排序（因此他的动量因子 UMD 与 Carhart 单变量排序的 MOM 不是同一个序列）。以 GP 为例：按 NYSE 公司 GP 的 30%、70% 分位数把全部股票分为盈利（P）、中性（N）、不盈利（U）三组，与市值两组交叉得到 S/P、S/N、S/U、B/P、B/N、B/U 六个市值加权组合：

该模型还有一个独特处理：构造这三个风格因子时做了行业中性化——做多一只股票的同时，按同等权重做空该股票所属的行业指数，从而剥离行业涨跌的影响，让因子收益更"纯"地来自个股在行业内的相对强弱。

Fama–French 五因子模型（2015）

面对盈利与投资维度不断累积的证据（也包括 Novy-Marx 的挑战），Fama 和 French（2015）给出了官方升级：在 FF3 之上加入盈利因子（Robust-Minus-Weak，RMW）与投资因子（Conservative-Minus-Aggressive，CMA）。

动机推导：从股利贴现模型到三个预测变量。股利贴现模型（Dividend Discount Model，DDM）说，股票的市值等于未来全部股利的贴现和。利用 Miller 和 Modigliani（1961）的结果——股利可以写成利润减去留存在公司里的再投资（即账面价值的增加）——可以把"股利"替换成会计报表上可观察的量，得到：

两边同时除以 $t$ 时刻的账面价值 $B_t$：

对式 (4.9) 做三次"固定其他、只动其一"的思想实验：

• 价值：固定预期盈利、预期投资和 $B_t$，若 $M_t$ 更小（等价地 $B_t/M_t$ 更高），等式要成立，贴现率 $r$ 必须更高 —— 高 BM ⇒ 高预期收益；
• 盈利：固定 $M_t/B_t$ 和预期投资，若预期盈利 $Y_{t+\tau}$ 更高，右边分子变大，等式要成立，$r$ 必须更高 —— 高预期盈利 ⇒ 高预期收益；
• 投资：固定 $M_t/B_t$ 和预期盈利，若预期投资 $dB_{t+\tau}$ 更高，右边分子变小，等式要成立，$r$ 必须更低 —— 高预期投资 ⇒ 低预期收益。

理论说的是预期盈利和预期投资，但预期不可观测，实证中怎么办？Fama 和 French（2006）专门比较过两种做法：用历史数据做朴素估计（naïve estimate），或用回归模型去预测。结果是：用历史总资产变化率直接代理预期投资时，它与收益率显著负相关；用回归预测出的预期投资反而找不到显著关系。预期盈利那边，历史 ROE 与回归预测差别很小。于是两篇论文最终都采用了朴素估计——直接拿历史 ROE 代理预期盈利、拿过去一年总资产变化率代理预期投资。还有一处妥协：按 DDM，投资变量本该是账面价值的变化，但 Fama 和 French（2015）发现用总资产变化率排序时股票收益的截面差异更大，就选了总资产。

因子构造。RMW 和 CMA 完全套用 2×3 模板。盈利维度：按 NYSE 公司 ROE 的 30%、70% 分位数分为稳健（R）、中性（N）、疲软（W）三组，与市值交叉得 S/R、S/N、S/W、B/R、B/N、B/W；投资维度：按总资产变化率的 30%、70% 分位数分为激进（A）、中性（N）、保守（C）三组，与市值交叉得 S/A、S/N、S/C、B/A、B/N、B/C。所有组合市值加权，每年六月末再平衡：

规模因子的构造这次变了。FF5 里 BM、ROE、总资产变化率分别与市值做 2×3 排序，共产生 18 个组合。若还像 FF3 那样只用 BM×市值的 6 个组合拼 SMB，别人会问：凭什么不用 ROE 或投资的分组？Fama 和 French（2015）的解决办法是"雨露均沾"——三套排序各拼一个 SMB，再取平均：

下面用可复现的模拟数据把这个"HML 冗余"现象演示出来。我们按照"HML 的收益主要来自它在 CMA 上的高暴露"生成 360 个月的因子数据，然后做张成回归。左图对比 HML 原始累计收益与"回归剥离四因子后剩下的部分"（$\alpha+\varepsilon$ 的累计）；拖动滑杆给 HML 注入真实 α，观察它何时不再冗余：

Hou–Xue–Zhang q-factor 四因子模型（2015）

与 FF5 同年，Hou、Xue 和 Zhang（Hou et al. 2015）从完全不同的方向抵达了几乎相同的地点。他们不从投资者的角度（"什么风险该被补偿"）出发，而是从公司的角度出发：公司如何做投资决策，反过来决定了它的股票该有怎样的预期收益。这套理论叫实体投资经济学，又称 q 理论（q-theory，源自托宾 q），所以该模型被称为 q-factor 模型。它包含市场、规模、投资、盈利四个因子：

理论出发点：净现值原则。模型的思想源头是 Cochrane（1991）；作者之一张橹后来在《清华金融评论》撰文（Zhang 2016）介绍过来龙去脉。核心是公司金融里最朴素的净现值原则（NPV rule）：项目现值大于投资成本才投。公司会先投最好的项目（折现率低、盈利率高、净现值最高），随着项目越投越多，边际成本上升、边际盈利率下降，直到最后一个项目净现值恰好为零：投资的边际成本 = 项目现值 = 盈利率 / 折现率。把这个等式变形：

$$ \text{折现率} \;=\; \frac{\text{盈利率}}{\text{投资的边际成本}} $$

从这个关系立刻读出两个条件预期结论：盈利率给定时，投资越多（边际成本越高）的公司折现率越低，股票预期收益越低；投资给定时，盈利率越高的公司折现率越高，股票预期收益越高。下面把这个直觉写成正式的两期模型。

考虑时刻 0 和 1。公司 $i$ 在时刻 0 拥有资产 $A_{i0}$、已知利润率 $\Pi_{i0}$；时刻 1 的利润率 $\Pi_{i1}$ 是随机变量。每期现金流为"资产 × 利润率"。公司唯一的决策变量是时刻 0 的投资额 $I_{i0}$；假设时刻 0 的资产到时刻 1 全部折旧完，所以时刻 1 的资产就是这笔投资：$A_{i1}=I_{i0}$。投资还伴随一笔调整费用 $\frac{a}{2}\left(\frac{I_{i0}}{A_{i0}}\right)^2 A_{i0}$（工厂扩得越快，摩擦越大，费用随投资强度平方增长）。公司最大化两期股东回报之和：

因子构造：2×3×3 独立三重排序。为了体现"条件预期"——盈利给定看投资、投资给定看盈利——HXZ 没有做三次独立的双重排序，而是把市值（NYSE 中位数分两组）、单季度 ROE（NYSE 30%/70% 分位数分三组）、总资产变化率（同样三组）一次性交叉，得到 $2\times3\times3=18$ 个市值加权组合。用 $c_1/c_2/c_3$ 标记三个维度的分组（$c_1\in\{S,B\}$，$c_2,c_3\in\{H,M,L\}$，如 S/H/H 表示小市值·高 ROE·高投资），三个因子定义为：

Stambaugh–Yuan 四因子模型（2017）

前五个模型都默认"因子收益是风险补偿"。接下来两个模型换了阵营：行为金融学（behavioral finance）认为，投资者的有限理性与认知偏差造成大量错误定价（mispricing），而错误定价才是众多异象收益的真正来源。Stambaugh 和 Yuan（2017）在市场、规模之外引入两个"错误定价复合因子"——管理因子（MGMT）与表现因子（PERF）：

11 个异象按相关性聚成两组（组内相关高、组间相关低），恰好各自有清晰的经济含义：

构造上，管理、表现两个综合排名分别与市值做 2×3 双重排序。这里 Stambaugh 和 Yuan 有两处明显偏离传统：断点不用 NYSE 分位数，而用全部股票的分位数；阈值不用 30%/70%，而用 20%/80%。他们对此没有太多解释；Hou 等（2019b）复现后发现，改回传统的 NYSE 30%/70% 断点，这两个因子的表现会明显变化——错误定价因子对构造细节相当敏感，这是它的一个软肋。

规模因子的构造偏离传统更远。两套 2×3 排序共 12 个组合，Stambaugh 和 Yuan 把管理、表现维度的高、低组（共 8 个）全部扔掉，只用 4 个中间组：

Daniel–Hirshleifer–Sun 三因子模型（2020）

行为金融阵营的第二个模型来自 Daniel、Hirshleifer 和 Sun（Daniel et al. 2020）。它的切入点非常巧妙：市场上绝大多数异象，按错误定价被纠正的时间尺度可以分成两大类——长尺度（大于 1 年，通常 3～5 年）与短尺度（1 年以内）。两类异象对应两种不同的行为偏差，于是各配一个行为因子（behavioral factor），与市场因子一起组成三因子模型：

FIN 因子：跟着管理层"抄作业"。管理层拥有信息优势，善于给自家股价"择时"：认为股价被高估时增发，被低估时回购。而过度自信的普通投资者对这些信号反应不足，股价短期内不会修正——于是增发预示未来低收益、回购预示未来高收益（美股上有大量实证支持）。DHS 用两个指标刻画融资行为：过去五年的复合股权发行量（5-year composite share issuance，CSI）与过去一年的股票净发行量（1-year net share issuance，NSI）。

CSI 的处理简单：按 NYSE 公司 CSI 的 20%、80% 分位数分低、中、高三档。NSI 的处理则相当繁琐——因为逐年看，增发和回购的公司数量极不平衡，直接单变量排序不合理。DHS 的做法：先把股票分成净回购、净发行两大类；净回购公司按 NYSE 净回购数的中位数分高低两组；净发行公司按 NYSE 净发行数的 30%、70% 分位数分低、中、高三组；最后取"净回购的高组"作为 NSI 的低组（回购最狠 = 最被低估）、"净发行的高组"作为 NSI 的高组（增发最猛 = 最被高估）。两个变量再按下表合成 FIN 分组：

FIN 分组与市值（NYSE 中位数）做 2×3 双重排序得 6 个市值加权组合，因子定义为：

PEAD 因子：赚"反应不足"的钱。大量实证显示，业绩超预期公司的股票在其后 6～9 个月持续跑赢业绩不及预期的公司——这就是盈余公告后漂移（post-earnings-announcement drift，PEAD），源于投资者的有限注意力（DellaVigna and Pollet 2009；Hirshleifer and Teoh 2003）：公告出来了，很多人根本没看，价格只消化了一部分信息。DHS 用公告窗口内的市场反应来度量"业绩惊喜"：以最近一次财报披露日为时间零点，计算 $[-2,+1]$ 窗口（披露前 2 个交易日到披露后 1 个交易日）相对市场的累计异常收益率（cumulative abnormal return，CAR）：

七个模型放在一起看

4.2A 股中被定价的因子

第 3 章用排序法在 A 股检验了主流因子，结论是规模、价值等因子显著。但排序法有个先天短板：即便做了与市值的双重排序，也无法完全剔除目标因子在其他因子上的暴露——比如高 BM 组合难免顺带暴露于盈利、换手率等维度，混进别人的收益。本节改用 Fama–MacBeth 回归（第 2 章 2.3 节）：截面回归天然"多元"，能同时控制所有其他特征，回答一个更干净的问题——哪些因子在 A 股真正被定价？原书使用 2000—2019 年的 A 股数据完成这组实证，检验对象正是第 3 章的因子：市场、规模、价值、动量、盈利、投资、换手率。

实证设定

几个关键设定，每一个都值得留意：

• 用公司特征当因子暴露。除市场因子外，直接用每期截面上公司特征的取值作为 $\beta$（而非时序回归估计值）——这是学术界的常见做法（第 2 章讨论过其利弊）。市值取对数，以削弱市值分布严重右偏的影响。
• 市场 β 单独估计。用滚动 252 个交易日窗口的时序回归计算个股对市场的 β，作为其在市场因子上的暴露。
• 特征在前、收益在后。每个 $t$ 月用当期特征作解释变量、用 $t+1$ 月个股收益率作被解释变量做截面回归，逐期得到因子收益率序列，再对时间取均值、算 Newey–West 调整后的 t 值。
• 回归含截距项，以控制模型设定偏误。
• 只去极值、不标准化。惯例上会对暴露做去极值 + 标准化两步处理（标准化后各因子暴露截面标准差为 1，收益率可直接比较）；原书实证只做了去极值，因此比较不同因子时需要借助"影响系数"（见下）。

回归结果

结果与第 3 章排序法的结论基本一致。按显著性分成两个阵营（括号内为原书报告的 Newey–West t 值的大致水平）：

无论用传统的 $|t|>2.0$ 还是当下更严格的 $|t|>3.0$ 门槛（第 6 章 6.1 节），结论都一样：规模、价值、盈利、换手率在 A 股被定价；市场、动量、投资不显著。做 A 股因子投资和异象研究，可优先从这四个被定价的维度出发。

4.3模型比较：来自 A 股的例子

有了因子，怎么决定 A 股的多因子模型该长什么样？本节演示如何用第 2 章的 α 检验和 GRS 检验比较两个候选模型。先说清楚立场：重点是方法论的应用，不是给两个模型分高下——你很快会看到，"谁更好"的答案对样本区间惊人地敏感。

两个候选模型

模型一：中国版三因子模型（CHN-3）。Liu、Stambaugh 和 Yuan（Liu et al. 2019，发表于 Journal of Financial Economics，标题即 Size and value in China）参照 FF3 为 A 股定制的三因子模型：市场 + 规模（CHN-SMB）+ 价值（CHN-VMG）。两处针对 A 股的特别处理：

第二处处理是：用 EP（盈利市值比）取代 BM 作为价值因子的排序变量——理由几乎完全来自实证：在他们的样本里 EP 比 BM 更能解释 A 股收益的截面差异。这一选择争议很大，后面细说。

模型二：市场 + 规模 + 价值（BM）+ 盈利（ROE）四因子模型（LSL-4）。这是原书作者从公司估值角度出发主张的模型（LSL 为三位作者姓氏首字母，用作因子前缀以区分 CHN 系因子）：保留 BM 构造价值因子，并加入 ROE 构造的盈利因子。动机正是对"EP 取代 BM"的质疑：

• 算术上：$EP = \dfrac{E}{P} = \dfrac{B}{P}\times\dfrac{E}{B} = BM \times ROE$——EP 是价值与盈利两个维度的乘积，不是纯粹的价值。
• 机制上：第 3 章的实证显示，BM 在小市值股票中作用远强于大市值，而 ROE 恰好相反。当市值最低的 30% 因壳价值被剔除后，BM 的效果自然变差、ROE 和 EP 的效果自然变好——EP 在 Liu et al.（2019）中的优势，相当程度上是样本筛选的副产品。
• 文献上：BM 与 EP 各有胜负，谈不上谁碾压谁：Cakici et al.（2017）与 Hsu et al.（2018）在各自区间发现 BM 更强；Qiao（2019）发现 BM 全区间显著、EP 只有剔除小市值后才显著；MSCI 的报告（Rao and Gupta 2019）发现 2000—2009 年 BM 胜、2010—2019 年 EP 胜。

理论铺垫：BM、ROE 与预期收益

在"因子大战"硝烟弥漫的今天，Fama 和 French（2018）反复告诫：模型里每个因子都该有理论支撑，否则模型比较就沦为数据挖掘。所以先补上理论：为什么 BM 和 ROE 与预期收益密切相关？Hou 等（2019b）从 DDM 出发用单期预期收益率给出了一段干净的论述。由收益率的定义：

再引入一个会计恒等式——净盈余关系（clean surplus relation）：分红等于利润减去账面价值的增加（赚到的钱要么分掉、要么留下）：

预期 ROE 不可观测，但 Zhang（2017）发现历史 ROE 是预期 ROE 的可靠预测，所以可近似用历史 ROE。于是 BM 和 ROE 都有资格构建因子。既然如此，为什么不干脆用 $EP=BM\times ROE$ 一个变量打包两个维度？两个理由：Penman 和 Reggiani（2018）针对美股的研究表明，BM、EP、ROE 三者中取两个才能更准确地估值，只用一个会丢信息；而且由 $EP=BM\times ROE$ 可知 EP 与 ROE 正相关，用 EP 构造的"价值因子"在盈利维度上有甩不掉的暴露——它表现好，但不纯粹。这就是 LSL-4 分别用 BM、ROE 建两个因子的全部理由。

因子构造与初步观察

比较模型前先在原书的实证区间（2000—2019 年 A 股）内复现因子，构造尽量贴近原文。CHN-3 的两个风格因子用市值与 EP 做 2×3 独立双重排序（每月末再平衡，组合内市值加权；V/M/G 分别为 EP 高于 70% 分位数的价值组、中间组、低于 30% 分位数的成长组）：

LSL-4 的三个风格因子仿照 FF5：分别用 BM、ROE（TTM，滚动十二个月）与市值做 2×3 双重排序，规模因子取两套排序的平均：

正式检验前，因子收益率与相关系数已经透露了三条重要信息：

• 两个规模因子几乎是同一个东西（两种股票池下相关系数均高达 0.98）。有意思的是，一旦剔除市值最低的 30% 股票，两个规模因子都不再显著（t 值分别约 1.9 和 1.2）——A 股的规模溢价高度集中在最小的那批股票上。顺带一提，Liu et al.（2019）的实证区间止于 2016 年底，"幸运地"避开了其后规模因子失效的年份。
• CHN-VMG 与 LSL-RMW 高度相关（全部股票下约 0.85，剔除后仍约 0.74）——$EP=BM\times ROE$ 的直接体现：EP 版价值因子在盈利维度上暴露很高，不是纯粹的价值因子。作为对照，BM 版价值因子 LSL-HML 与盈利因子的相关系数仅约 −0.1。
• 盈利因子在剔除小市值后更强：LSL-RMW 全部股票时不显著（t 约 1.8），剔除市值最低 30% 后显著性上升（t 约 2.4）——与第 3 章"ROE 在大市值中更好使"的发现一致。

α 检验：谁解释掉的异象多

α 检验的做法：选一组异象作为测试资产，把每个异象的多空组合收益率对两个模型分别做时序回归，看 α 是否显著——被解释掉的异象越多、剩余 |α| 越小，模型越好。测试资产选用 Liu et al.（2019）研究过的 10 个异象（涵盖估值、盈利、换手率与流动性、反转与波动率等维度，如净经营资产、市现率、1 个月异常换手率、非流动性——按 Amihud 2002 计算——反转、1 个月波动率等；个别变量定义采用 Asness et al. 2020 的版本以规避涨跌停的影响）。除全区间一次回归外，还做了滚动 60 个月窗口回归（对 α 及其 t 值的序列取均值）作为稳健性检验——20 年里 A 股结构变化太大，一次回归可能掩盖问题。

结果的定性总结（原书汇报了 Avg |α|、Avg |t|、以及 |t| 超过 2.0 / 3.0 的异象个数四个指标）：

按大多数口径 CHN-3 略占上风，但在滚动窗口 + 剔除小市值的设定下结论逆转。诚实的读法是：两个模型解释异象的能力旗鼓相当，都能覆盖大部分异象；换手率/流动性类异象是共同的盲区（这也是 Liu et al. 2019 另外构建含换手率因子的四因子版本的原因）。

GRS 检验：模型互相解释对方

GRS 检验（第 2 章 2.5 节）在这里的用法很优雅：让两个模型互为模型和测试资产——用 LSL 的三个风格因子当模型去解释 CHN 的两个风格因子（检验后者的 α 是否联合为零），再反过来。若 A 的因子能解释 B 的因子而反之不行，则 A 是"更大"的模型。考虑到区间敏感性，检验在四个窗口分别进行：前十年（2000—2009）、后十年（2010—2019）、全区间、以及 Liu et al.（2019）原文区间（2000—2016）。全部股票下的结果：

为什么前后十年结论如此撕裂？拆开因子看就明白了：前十年，BM 构造的 LSL-HML 极强（月均约 1.35%、高度显著），LSL-RMW 弱（月均约 0.3%、不显著）；后十年，A 股结构生变——机构占比上升、市场更有效——盈利因子转为显著，BM 价值因子却"熄火"。LSL 的因子在前后十年里总是"断了至少一条腿"。反观 CHN-VMG：由于 $EP=BM\times ROE$，它对 LSL-HML 和 LSL-RMW 同时保持稳定的高暴露（滚动回归清晰可见），前十年吃价值的溢价、后十年吃盈利的溢价，二十年全程显著。GRS 的 F 统计量正是被这种"因子接力"推出来的。至于剔除市值最低 30% 的股票池：全区间两个模型互相解释、难分高下，而分别看前后十年时反而是 LSL-4 更好。

4.4多因子模型的简约性

纯数学上，只要往时序回归右边不断塞因子，模型（在样本内）一定能解释越来越多的异象——解释力是可以"买"来的，代价是复杂度。但本章七个模型的因子个数全都落在 3～5 个：这不是巧合，而是简约性原则（The Law of Parsimony，即奥卡姆剃刀）在起作用——因子代表的是共性风险，共性风险的种类必然有限；解释不了这一点的因子，多半只是在拟合噪声。

因子个数之外还有一层更隐蔽的复杂度：构造因子用了多少个变量。SY 模型只有 4 个因子，但两个错误定价因子背后是 11 个异象变量——它的"体积"远比因子个数显示的大。在 2018 年美国金融协会年会上，DHS 模型作者之一 Lin Sun 报告了一项颇有新意的分析：给每个模型算"简约指数"，再看复杂度与解释力的关系。

Lin Sun 用 CAPM 和本章各模型去检验 34 个异象，以 0.05 显著性水平下"仍显著的异象个数"度量模型解释力，画出解释力对简约指数的散点。结论清晰：模型越复杂（指数越低），样本内解释掉的异象越多——一条几乎单调的关系。这恰恰说明"谁解释的异象多"不能作为评判模型的唯一标准：复杂度买来的解释力，很可能只是样本内的过拟合，出了样本就还回去（第 6 章 6.2.3 节继续这个话题）。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)
T = 600
mkt = 0.55 + 4.5 * rng.standard_normal(T)
smb = 0.20 + 3.0 * rng.standard_normal(T)
rmw = 0.25 + 2.2 * rng.standard_normal(T)
cma = 0.28 + 1.9 * rng.standard_normal(T)
# HML：由其余因子生成，真实 alpha = 0
hml = 0.0 + 0.04*mkt + 0.06*smb + 0.22*rmw + 1.05*cma \
      + 2.0 * rng.standard_normal(T)
F = np.column_stack([mkt, smb, rmw, cma, hml])
names = ['MKT', 'SMB', 'RMW', 'CMA', 'HML']

import numpy as np

def ols_alpha(y, X):
    """带截距 OLS，返回 (alpha, t_alpha)"""
    T = len(y)
    Z = np.column_stack([np.ones(T), X])
    coef, *_ = np.linalg.lstsq(Z, y, rcond=None)
    resid = y - Z @ coef
    k = Z.shape[1]
    s2 = resid @ resid / (T - k)
    cov = s2 * np.linalg.inv(Z.T @ Z)
    return coef[0], coef[0] / np.sqrt(cov[0, 0])

def spanning_test(F, names):
    T, K = F.shape
    print(f"{'因子':<6}{'均值%/月':>10}{'t(均值)':>9}{'alpha%':>9}{'t(alpha)':>9}  结论")
    for i, name in enumerate(names):
        y = F[:, i]
        X = np.delete(F, i, axis=1)
        m = y.mean()
        t_m = m / (y.std(ddof=1) / np.sqrt(T))
        a, t_a = ols_alpha(y, X)
        verdict = '冗余' if abs(t_a) < 2 else '有独立贡献'
        print(f"{name:<6}{m:>10.3f}{t_m:>9.2f}{a:>9.3f}{t_a:>9.2f}  {verdict}")

rng = np.random.default_rng(42)
T = 600
mkt = 0.55 + 4.5 * rng.standard_normal(T)
smb = 0.20 + 3.0 * rng.standard_normal(T)
rmw = 0.25 + 2.2 * rng.standard_normal(T)
cma = 0.28 + 1.9 * rng.standard_normal(T)

for true_alpha in [0.0, 0.3]:
    hml = true_alpha + 0.04*mkt + 0.06*smb + 0.22*rmw + 1.05*cma \
          + 2.0 * rng.standard_normal(T)
    F = np.column_stack([mkt, smb, rmw, cma, hml])
    print(f"\n=== HML 真实 alpha = {true_alpha}%/月 ===")
    spanning_test(F, ['MKT', 'SMB', 'RMW', 'CMA', 'HML'])

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)
T, N = 600, 10
f1 = 0.50 + 4.5 * rng.standard_normal(T)     # 市场因子
f2 = 0.30 + 2.5 * rng.standard_normal(T)     # 盈利因子
b1 = rng.uniform(0.8, 1.2, N)                # 市场暴露
b2 = np.linspace(-0.8, 0.8, N)               # 盈利暴露：从深空到重仓
eps = 1.5 * rng.standard_normal((T, N))
R = np.outer(f1, b1) + np.outer(f2, b2) + eps  # 真实 alpha 全为 0

import numpy as np

def grs_test(R, F):
    """R: T x N 测试组合超额收益; F: T x K 因子收益
    返回 (alpha 向量, 平均|alpha|, GRS 统计量, 自由度, p 值或 None)"""
    T, N = R.shape
    F = np.atleast_2d(F)
    if F.shape[0] != T:
        F = F.T
    K = F.shape[1]
    X = np.column_stack([np.ones(T), F])
    coef, *_ = np.linalg.lstsq(X, R, rcond=None)   # (K+1) x N
    alpha = coef[0]
    E = R - X @ coef
    Sigma = E.T @ E / T                    # 残差协方差 (MLE)
    fbar = F.mean(axis=0)
    Omega = (F - fbar).T @ (F - fbar) / T  # 因子协方差 (MLE)
    core = alpha @ np.linalg.solve(Sigma, alpha)
    adj = 1.0 + fbar @ np.linalg.solve(Omega, fbar)
    grs = (T - N - K) / N * core / adj
    try:
        from scipy import stats
        p = stats.f.sf(grs, N, T - N - K)
    except ImportError:
        p = None
    return alpha, np.abs(alpha).mean(), grs, (N, T - N - K), p

rng = np.random.default_rng(7)
T, N = 600, 10
f1 = 0.50 + 4.5 * rng.standard_normal(T)
f2 = 0.30 + 2.5 * rng.standard_normal(T)
b1 = rng.uniform(0.8, 1.2, N)
b2 = np.linspace(-0.8, 0.8, N)
eps = 1.5 * rng.standard_normal((T, N))
R = np.outer(f1, b1) + np.outer(f2, b2) + eps

for name, F in [('模型A(市场+盈利)', np.column_stack([f1, f2])),
                ('模型B(仅市场)  ', f1.reshape(-1, 1))]:
    alpha, avg_abs, grs, dof, p = grs_test(R, F)
    ptxt = f", p = {p:.4f}" if p is not None else "（未装 scipy，5% 临界值约 1.85）"
    print(f"{name}: 平均|alpha| = {avg_abs:.3f}%/月, GRS = {grs:.2f} "
          f"~ F{dof}{ptxt}")
    print("  各组合 alpha:", np.round(alpha, 3))