因子投资实践

7.1收益率模型：从预测变量到 α

术语先行："阿尔法因子"到底指什么

业界的量化研究员日常说"我挖了一个阿尔法因子"，指的通常是一个能预测股票收益率的变量——比如账面市值比 BM、特质性波动率 IVOL。但对照本手册的统一视角 $\E[R_i^e]=\alpha_i+\boldsymbol{\beta}_i^{\top}\boldsymbol{\lambda}$（式 1.3），这个叫法有两处不严谨。

挑选预测变量：六个标准

预测变量不是越多越好。一个新变量能否进入收益模型，业界有一套大致公认的检验清单：

IC：预测能力的标尺

单期 IC 噪声很大，评价一个变量要看 IC 序列的整体统计特征：

主动管理基本定律：深度与广度

IC 只是"单次预测的准确度"。它如何转化为策略层面的业绩？Grinold（1989）给出了主动管理领域最著名的近似关系。

拖动下面两个滑杆感受二者的替代关系：IC 从 0.03 提到 0.06 与 BR 从 100 提到 400，对 IR 的贡献一样大。但要小心 BR 的"独立"二字——对 3000 只股票用同一个财务指标打分，有效独立下注数远小于 3000，因为同一期的判断高度相关。

从打分到收益率预测

有了一篮子预测变量，怎么合成对每只股票的收益预测？业界的主流流程是"标准化 → 加权打分 → 截面回归"。第一步，把量纲各异的变量统一成截面 Z-Score：

第二步，把 $K$ 个变量的得分按权重合成综合得分：

权重 $w_k$ 怎么定？常见方案从简到繁：

无论选哪种，有两个稳健化技巧几乎总是值得做：一是收缩（shrinkage），把估计出的权重向等权拉回一部分，$w_k \leftarrow (1-\delta)\,\hat w_k + \delta/K$，承认"历史 IC 估不准"这个事实；二是用 EWMA（指数加权移动平均）代替简单平均计算 $\overline{\mathrm{IC}}_k$，让近期观测权重更高、又不至于被最近一两期噪声牵着走。偏离等权本质上已是在做因子择时（7.5 节），下手要轻。

第三步，把综合得分转化为收益率预测。做一个逐期的一元截面回归：

把式 (7.5) 两边同时减去基准收益率，可以推出主动管理中著名的α 预测经验法则：

7.2风险模型：以 Barra 为例

多因子模型的另一半用途是估计风险。第 1 章的式 (1.6) 已经给出核心思想——用因子结构给协方差矩阵降维：

专门为这个目的构建的多因子模型被称为风险模型，其中最著名的是 Barra（现属 MSCI）在各国市场落地的系列模型。下面以其中国 A 股模型 CNE5 为例。

截面模型：r = Xf + u

这里有一个非常值得停下来体会的对偶关系。学术界的时序回归模型（如 Fama–French）与 Barra 模型用的是同一个线性框架，但已知与未知恰好互换：

风格暴露的标准化有一个特别的设计：去均值时用市值加权均值，即处理后满足

模型求解：WLS 与共线性约束

把式 (7.19) 写成矩阵形式 $\boldsymbol{r}^e = \boldsymbol{X}\boldsymbol{f} + \boldsymbol{u}$（省略时间下标）。求解时有两个技术问题。

问题一：异方差。小盘股的特质波动远大于大盘股，普通 OLS 会让小盘股的噪声主导回归。Barra 用加权最小二乘（weighted least squares，WLS），假设特质方差与市值平方根成反比，于是回归权重取市值平方根：

问题二：共线性。国家因子暴露（全 1 向量）恰好等于所有行业哑变量之和，$\boldsymbol{X}$ 不满秩，回归无唯一解。Barra 的处理是对行业因子收益率施加一个约束：

纯因子投资组合

截面回归还有一份意外的赠品。先看无约束情形（暂不含国家因子，$\boldsymbol{X}$ 满秩）的 WLS 解：

"纯"字的经济含义值得展开。排序法构建的价值因子组合（做多高 BM、做空低 BM）不可避免地捎带上规模、行业等暴露——你以为在赌价值，其实同时在赌小盘。纯因子组合把这些搭便车的暴露全部对冲掉：赚到的每一分钱都只来自目标因子。逐类看它们长什么样：

协方差矩阵的估计与四类修正

逐期回归给出因子收益率序列 $\{\hat{\boldsymbol{f}}_t\}$ 和特质收益率序列 $\{\hat{u}_{i,t}\}$，用滚动窗口的样本协方差就能拼出式 (7.18) 的全部原料。但大量实证显示，裸的样本估计在样本外系统性地不准。评估"准不准"的标尺是偏差统计量：

四类修正各治一种病，先列总表再逐个说：

（1）Newey–West 调整。用日频数据估月频协方差时，若收益率存在自相关（流动性差的股票尤甚），简单缩放会算错真实的长周期方差。Newey–West 方法在样本协方差上叠加若干阶滞后自协方差（权重随滞后阶数递减），得到对自相关稳健的估计。它解决的是"时间加总"层面的偏差。

（2）特征因子调整（eigenfactor risk adjustment）。对样本因子协方差矩阵做特征分解 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_f = \boldsymbol{U}\boldsymbol{D}\boldsymbol{U}^{\top}$（式 7.37）：$\boldsymbol{U}$ 的每一列定义一个特征因子组合（把 $K$ 个因子当资产、按特征向量加权），$\boldsymbol{D}$ 对角线是它们的方差，且这些组合两两不相关。实证发现一个规律性偏差：方差越小的特征组合，偏差统计量越显著地大于 1——样本里"看起来最安全"的方向，恰恰是风险被低估最多的方向。这不是巧合而是数学必然：样本协方差的小特征值天然向下偏、大特征值天然向上偏（估计噪声的方向性效应）。这个偏差极其危险，因为组合优化器专门寻找低方差方向加杠杆。Barra 的解法是自助法（bootstrap）：把 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_f$ 当"真值"反复模拟生成同长度样本，测量"模拟样本估计 vs 已知真值"在每个特征方向上的系统性偏差，再用测得的偏差系数 $\nu(k)$（经验上还要按 $\nu_s(k)=a(\nu(k)-1)+1$、$a\in[1,2]$ 放大，补偿真实数据的厚尾与非平稳）把 $\boldsymbol{D}$ 的对角元素放大回去，最后用 $\boldsymbol{U}$ 反变换得到修正后的 $\tilde{\boldsymbol{\Sigma}}_f$（式 7.44）。

（3）波动率体制调整（volatility regime adjustment，VRA）。滚动窗口估计天然滞后：市场从平静切换到危机时，模型还在用平静期的数据说话，整体低估风险；危机结束后又长期高估。VRA 用截面版偏差统计量监控"当下全市场的实现波动 / 模型预测波动"，把近期（指数加权）的系统性偏差提炼成一个乘性校正系数，直接缩放整套因子波动率。它修的不是结构，而是水平。

（4）特质风险的两步修正。特质方差要逐股估计，最容易出问题。其一，部分股票停牌多、上市短，时序数据根本不够——结构化模型（structural model）用"暴露 → 特质波动"的截面关系（拿数据充足的股票拟合特质波动对因子暴露的回归），给数据不足的股票一个模型化估计。其二，即使数据够，样本特质波动的极端值在样本外强烈均值回复：分档检验显示，样本波动最低档的股票 $B$ 显著大于 1（低估）、最高档显著小于 1（高估）。贝叶斯收缩把个股估计往同市值组的先验拉：

7.3投资组合优化

收益模型给出 $\boldsymbol{\mu}$（预期超额收益向量），风险模型给出 $\boldsymbol{\Sigma}$，第三步是把它们捏成一个持仓。

均值—方差优化

收益模型与风险模型的错位

接下来是本章最容易被忽视、也最有实战价值的一个专题。现实中的标准配置是：收益模型自研（独门预测变量），风险模型外购（如 Barra）。两个模型的因子体系必然不一致——这就是错位（misalignment）。错位不是美学问题，它会让优化器给出系统性扭曲的持仓。

把收益预测向量按风险模型的因子空间做正交分解：

下图用一个可复算的小型模拟展示这个机制：50 只股票、1 个风险因子，收益预测里"对齐"与"未对齐"两部分信号强度相同，但优化出的组合几乎把全部仓位押在未对齐方向上：

缓解错位有两条思路。思路一：改风险模型——把与收益模型相似的风险因子剔除、用收益模型的暴露替换对应列、或干脆把收益因子并入风险模型重建。直接但受限：商用模型改不动，且"哪两个因子算相似"本身就模糊。思路二：改优化目标——既然问题是 $\boldsymbol{\mu}_{\perp}$ 未被惩罚，那就显式补一刀（Bender et al. 2009）：

目标函数的谱系

因为 $\boldsymbol{\mu}$ 太难估，一系列"只用 $\boldsymbol{\Sigma}$"的目标函数应运而生。它们并非互相独立的流派，而是同一个 MVO 在不同参数假设下的特例——满足等价条件时，它们与 MVO 给出完全相同的权重：

三点解读。其一，从下往上，等价条件逐条放松，对参数信息的利用逐渐增多——原书的数值实验显示，条件满足时各方法权重完全一致，条件逐一失效后，等权、风险平价、最大多样化依次在与 MVO 的比较中败下阵来：有靠谱的参数信息就该用，等权是估不准时的无奈之举而非美德。其二，风险平价（Qian 2005 提出，因桥水全天候策略闻名）的"资产两两相关系数相等"假设对个股不现实，对大类资产则勉强可接受，所以它主要活跃在资产配置层面。其三，主动管理常用的最大化信息比率（主动收益 / 跟踪误差）并不是新东西：把权重换成相对基准的主动权重、协方差换成主动收益的协方差，它就是主动空间里的 MVO。

约束条件

实际优化从来不是无约束的。常见约束一览（$\boldsymbol{w}^B$ 为基准权重，$\Delta w_i = w_i - w_i^{\mathrm{old}}$ 为调仓变动）：

交易成本

换手约束是粗调，精细的做法是把成本直接写进目标函数。成本分显性（佣金、买卖价差）与隐性（市场冲击——你的买单本身会推高价格）两类，对应两种最常用的模型：

7.4Smart Beta：因子投资的捷径

定义与光谱

因子指数怎么编：暴露与可投资性的权衡

编制因子指数时，因子暴露与可投资性（容量、换手、流动性）天生互斥，不同产品是在这条光谱上选点。按暴露从高到低排成金字塔：

落到具体权重上，主流加权方式对比如下：

为什么投资 Smart Beta

• 增加收益：从单一的市场溢价扩展到价值、质量、动量等多个溢价来源。原书用自建的 BetaPlus 指数系列（A 股市值前 1000 只，2000—2019 年）做实证：六个单因子指数的年化收益与夏普比率全部高于基准指数；把 60/40 股债组合中的宽基替换为六因子等权后，年化收益与夏普比率均明显提升。
• 降低风险：多因子分散风险来源；把仓位向质量、低波动等防御性因子倾斜可显著压缩回撤。
• 节约费用：管理费通常约 0.15%～0.5%，对比主动基金动辄 1% 以上；低换手进一步省下交易损耗。研究显示主动基金换手率与超额收益呈倒 U 形——换手高过某个点就是在给券商打工。
• 透明、免委托代理：规则写在编制方案里，不受基金经理离职、风格漂移、行为偏差的影响（第 1 章讲过：主动收益约八成本就是因子暴露，别用 α 的价格买 β）。

如何投资：单因子择时还是多因子配置

持有单一因子指数要忍受漫长的相对低迷期（美股价值因子 2017 年之后连年跑输就是活例；AQR 的 Asness 为此专门著文论证"逻辑未变、不应放弃"）。因子间相关性低、周期错位——质量与低波动偏防御、价值与动量偏进攻——所以多数投资者的答案是多因子配置。配置有两种路线：

7.5因子择时

因子收益率在时序上起伏很大，如果能"好使时超配、失灵时低配"，收益会脱胎换骨——这就是因子择时（factor timing）的诱惑。做法上都是寻找"因子的因子"：影响因子未来收益的变量。综合学术界与业界的研究，信号大致五类，前三类来自因子自身，后两类来自外部环境：

（1）因子估值差。因子组合也是一揽子股票，同样可以问"现在贵不贵"。Asness 等人从 Gordon 增长模型出发把收益拆成盈利收益率加增长（$\E[R]=E/P+g$），对因子的多空两头分别拆解后相减：

（2）因子动量。动量效应不仅存在于股票间，也存在于因子间。Arnott 等人（2019）对 51 个美股因子做截面动量（做多过去表现最好的 8 个、做空最差的 8 个），获得显著为正的收益，且不像股票动量那样发生崩溃；Ehsani 和 Linnainmaa、Gupta 和 Kelly 在更多因子、更多市场上得到相似结论。业界流行的"按近期 IC 高低给变量加权"，本质上就是因子动量择时。注意它与估值择时天然打架——涨得多的因子往往也变贵了，AQR（动量派）与 Research Affiliates（估值派）为此论战多年。

（3）因子波动率。放弃预测收益，只用协方差信息配置：最小方差、风险平价、波动率倒数加权（$w_k \propto 1/\sigma_k$，风险平价在因子两两相关系数相等时的特例，AQR 常用）。目标是压回撤而非增收益——实证上也确实只压住了回撤，收益端没有稳定改善。

（4）市场情绪。乐观期投资者追逐彩票式的进攻型股票（小盘、新股、成长），把它们推得过贵，随后进攻风格跑输；悲观期反之。用 VIX 分市场状态的统计显示：乐观期价值与动量占优，悲观期低波动、质量、股利这些防御因子的超额收益反而最大。

（5）宏观变量。期限利差、信用利差、通胀、产出增速等与因子表现存在统计关联（如期限利差与盈利因子高度负相关；价值与动量顺周期、低波动逆周期、质量全天候）。但宏观变量数目众多、传导链条长，样本内相关性很容易是拟合出来的。

为什么因子择时这么难

结论先行：样本外稳定战胜"等权持有多个因子"的择时方法，至今没有公认的答案。原因是结构性的：

• 信号弱：因子收益的可预测成分本来就小，时序信息远比截面信息稀薄——截面上有几千只股票摊薄噪声，时序上只有一条历史。
• 样本短：以月频观察，几十年数据只有几百个点，还要切给多个状态变量；商业周期一共才经历过几轮，按周期择时几乎必然过拟合。
• 关系不稳：预测变量与因子收益的关系本身在漂移，且宏观数据存在事后修正（用了未来数据而不自知）。
• 成本与拥挤反噬：择时意味着换手，扣掉成本后微弱的优势所剩无几；而一旦某个择时信号有效且公开，跟随资金会把它变成新的拥挤源，在转向时踩踏。

Bender 等人（2018）承认择时理论上可行，同时列出上述陷阱；Newfound Research 的结论更直接——考虑成本后，估值与动量择时对比"不择时"优势尽失；Dichtl 等人（2020）系统比较各种因子动态加权后发现，没有哪种方法能稳定胜过等权。这与 DeMiguel 等人（2009）在资产配置层面的经典结论遥相呼应。对多数投资者，合理的定位是：把择时预算花在防御上（极端拥挤或系统性风险信号出现时降暴露），而不是幻想逐月踩点。

7.6风格分析

换一个身份：现在你不是构建组合的人，而是审视别人组合的人。风格分析（style analysis）要回答的是"这只基金的收益到底从哪些风格来"。按数据来源分两派：基于持仓的分析（拿持仓明细逐股加总暴露，准确但要拿到底仓）与基于收益的分析（只用净值序列回归，数据易得）。持仓数据难得，所以基于收益的方法应用最广，本节专讲它。

Sharpe 经典风格分析

Sharpe 用 12 个资产类别因子分析先锋的一只基金，展示了它可以被大盘价值与小盘两个风格基本复制。但经典框架的毛病也在约束里：不同指数商对"价值"的定义差异很大，换一家的风格指数结论就变（Buetow 等人因此对其实用性相当悲观）；MECE 原则让风格数目组合爆炸（规模三档 × 价值/平衡/成长三档就要 9 个指数）；暴露和为 100% 的硬约束还可能扭曲估计。

基于多空因子的风格分析

现代做法是分析超额收益：把基金收益减去基准（或无风险利率），再对多空因子收益率回归：

案例：巴菲特的 α 从哪来

7.7风险归因

风格分析拆收益，风险归因（risk attribution）拆波动：组合 5% 的月波动里，几个点来自市场、几个点来自押注的风格、几个点来自个股运气？设组合收益率可写成 $M$ 个收益源的线性组合 $R=\sum_{m=1}^{M} x_m r_m$（式 7.95，$x_m$ 为对收益源 $m$ 的暴露，$r_m$ 为其收益率——在多因子模型里，收益源就是各因子加上个股特质收益）。

两种传统方法的局限

方法一：独立波动。算每个收益源自己贡献的波动 $\sigma(x_m r_m)$。直观，但有两个致命伤：它无视收益源与组合之间的相关性（一个与组合负相关的收益源其实在降低风险，这里却被记成正贡献）；而且各项加起来不等于组合总风险——$\sum_m \sigma(x_m r_m) \ne \sigma(R)$，除非所有收益源完全正相关。账都对不上，谈何归因。

方法二：边际风险贡献。定义 $\mathrm{MCR}_m = \partial \sigma(R)/\partial x_m$（式 7.97）：暴露每多一点，组合风险多多少。由于 $\sigma(R)$ 是 $\boldsymbol{x}$ 的一次齐次函数，欧拉定理保证 $\sigma(R) = \sum_m x_m\,\mathrm{MCR}_m$（式 7.98）——账加得上了。但偏导数没有业务语感：跟基金经理说"这个因子的偏导数是 0.8"，他很难据此做决策。

风险三要素公式

Menchero 和 Davis（2011）把 MCR 拆开，得到一个既加得上账、又说人话的公式：

应用于多因子模型

把收益源具体化为因子与特质收益。组合权重 $w_i$ 下，$R_p = \sum_k x_k f_k + \sum_i w_i u_i$，其中 $x_k = \sum_i w_i X_{ik}$ 是组合的因子暴露（个股暴露的加权和）。直接套用三要素：

7.8展望：另类数据与因子化配置

另类数据

传统量价与财务数据的"矿"越挖越贫，目光自然转向另类数据（alternative data）：App 定位、网络抓取、舆情文本、卫星图像、刷卡消费……经典战例是数据商 Thasos 用特斯拉工厂周边的手机定位信号，提前推断出 Model 3 产能翻番，其对冲基金客户抢在财报大涨前布局。但"另类"不等于"即插即用"，冷静的清单有五条：

• 技术要匹配：非结构化数据需要 NLP 等相应技术栈；变量维度暴增还带来维数灾难与更高的过拟合风险。
• 需要专业知识：另类数据是"发现了一座没人去过的山"，有没有矿、从哪挖，全看使用者的领域知识；买数据商加工好的现成信号，等于和所有买家共享拥挤。
• 数据未必无偏：如员工点评网站的数据——无认证机制、不满者更爱发声、雇主刷分——采集过程的偏差会整体污染结论。
• 历史太短：另类数据集常只有两三年历史。Bailey 和 López de Prado 的研究显示，2 年长度的数据只需约 7 次尝试就能"挖出"一个夏普比率 1.0 的假策略，5 年也不过 45 次——多重检验问题在短样本上被急剧放大。
• 要验增量：若新数据挖出的信号能被已有因子解释，它只是贵了十倍的旧信息。真正有价值的是与现有收益源低相关的部分。

因子化的大类资产配置

因子思维的终点是越过股票，接管整个资产配置：股票、债券、商品、外汇、地产这些表面迥异的资产，其收益背后是同一组底层因子在驱动——实际利率、通胀、信用、发达/新兴市场股权、流动性等。债券不再是"一类资产"，而是利率、信用与通胀因子的一个特定暴露包。配置因子而非资产，分散化才落在真正独立的风险上。落地有两个关键：

• 构建因子模拟组合（factor-mimicking portfolios）：利率、通胀这类因子不能直接买，需要用暴露最大的资产组合复制其收益（思路与第 2 章因子构建一脉相承）；配置方法上，因子收益难预测，常用只依赖协方差的风险平价或简单等权。
• 抵御尾部风险：危机时刻各因子的下行相关性会陡然抬升，"分散"集体失效。贝莱德的防御性因子择时（Fergis et al. 2019）用两个低频指标站岗：RTI（风险容忍指标，因子收益与波动排序的秩相关系数 $\mathrm{RTI}=\mathrm{corr}(q(R),q(\sigma))$，式 7.110——风险偏好崩塌时高风险因子跌得最狠，RTI 转负）与多样化比例 DR（各因子加权波动之和除以组合波动——相关性激增时 DR 骤降）。指标报警即降仓，2012 年欧债危机（RTI 报警）与 2013 年"减码恐慌"（DR 报警）中均有效保护了组合。这是因子择时最务实的用法：不猜顶点，只避深渊。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)

N, P, Q, T = 400, 5, 3, 120          # 股票 / 行业 / 风格因子 / 期数
ind = rng.integers(0, P, N)          # 每只股票所属行业
X_ind = np.eye(P)[ind]               # N x P 行业哑变量
cap = np.exp(rng.normal(0, 1, N))    # 市值(对数正态)
s = cap / cap.sum()                  # 市值权重

# 风格暴露: 市值加权均值为 0, 截面标准差为 1
style = rng.standard_normal((N, Q))
style = style - s @ style
style = style / style.std(axis=0)
X = np.hstack([X_ind, style])        # N x K, K = P + Q, 满秩

# 模拟 T 期收益: 真实因子收益 + 特质收益(方差与市值负相关)
f_true = 0.01 * rng.standard_normal((T, P + Q))
sig_e = 0.05 / cap ** 0.25
R = f_true @ X.T + sig_e * rng.standard_normal((T, N))

# WLS: 回归权重与 sqrt(市值) 成正比
w_reg = np.sqrt(cap) / np.sqrt(cap).sum()
XtW = X.T * w_reg                    # 等价于 X'W (广播, 免建对角阵)
Omega = np.linalg.solve(XtW @ X, XtW)          # K x N 纯因子组合权重

# (2) 纯因子性质: Omega @ X = I
err = np.abs(Omega @ X - np.eye(P + Q)).max()
print("Omega X 与单位阵的最大偏差:", err)       # ~1e-14

# (3) 风格纯因子组合资金中性
print("风格纯因子组合权重和:", (Omega[P:] @ np.ones(N)).round(12))

# (4) 逐期因子收益估计
f_hat = R @ Omega.T
for k in range(P + Q):
    c = np.corrcoef(f_hat[:, k], f_true[:, k])[0, 1]
    print(f"因子 {k}: corr(f_hat, f_true) = {c:.3f}")

import numpy as np
from scipy.optimize import nnls
rng = np.random.default_rng(7)

T, K = 260, 4                        # 周频约 5 年 / 4 个风格指数
mkt = 0.001 + 0.02 * rng.standard_normal(T)
F = mkt[:, None] + 0.008 * rng.standard_normal((T, K))  # 指数间高度相关
b_true = np.array([0.55, 0.25, 0.00, 0.20])
alpha_true = 0.0005                  # 每周 5bp 真实选股能力
R = F @ b_true + alpha_true + 0.004 * rng.standard_normal(T)

# 约束回归 min ||R - F b||^2  s.t. b >= 0, sum(b) = 1
lam = 1e6                            # 等式约束 -> 大权重伪观测
A = np.vstack([F, lam * np.ones((1, K))])
y = np.concatenate([R, [lam]])
b_hat, _ = nnls(A, y)

print("真实权重:", b_true)
print("估计权重:", b_hat.round(3), " 和 =", b_hat.sum().round(6))
resid = R - F @ b_hat
print(f"选股收益: 每周 {resid.mean():.5f} 约合年化 {resid.mean()*52:.2%}")
r2 = 1 - resid.var() / R.var()
print(f"风格解释度 R^2 = {r2:.3f}")

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)

K, N = 4, 100
names = ["市场", "规模", "价值", "动量"]
vol_f = np.array([0.045, 0.020, 0.018, 0.025])   # 因子月波动
corr_f = np.array([[ 1.0,  0.2, -0.1,  0.3],
                   [ 0.2,  1.0,  0.1, -0.1],
                   [-0.1,  0.1,  1.0, -0.4],
                   [ 0.3, -0.1, -0.4,  1.0]])
Sig_f = corr_f * np.outer(vol_f, vol_f)

X = rng.standard_normal((N, K)) * 0.8
X[:, 0] = 1.0                        # 所有股票市场暴露为 1
X[:, 3] -= 0.3                       # 组合整体对动量负暴露
w = rng.dirichlet(np.ones(N))        # 纯多头权重, 和为 1
sig_e = rng.uniform(0.04, 0.10, N)   # 个股特质月波动

x = X.T @ w                          # 组合因子暴露 (K,)
var_idio = np.sum(w**2 * sig_e**2)
sig_p = np.sqrt(x @ Sig_f @ x + var_idio)

cov_fR = Sig_f @ x                   # cov(f_k, R_p)
mcr = cov_fR / sig_p                 # = sigma(f_k) * rho(f_k, R_p)
contrib_f = x * mcr                  # 因子贡献 x_k * MCR_k
contrib_e = var_idio / sig_p         # 特质贡献

print(f"组合月波动率 = {sig_p:.4f}")
for k in range(K):
    rho = cov_fR[k] / (vol_f[k] * sig_p)
    print(f"{names[k]}: 暴露 {x[k]:+.3f}  波动 {vol_f[k]:.3f}  "
          f"相关 {rho:+.2f}  贡献 {contrib_f[k]:+.4f} "
          f"({contrib_f[k]/sig_p:+.1%})")
print(f"特质贡献 {contrib_e:.4f} ({contrib_e/sig_p:.1%})")
total = contrib_f.sum() + contrib_e
print("Euler 加总检验:", np.isclose(total, sig_p), total, sig_p)

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1)

N, gamma = 20, 3.0
sig = rng.uniform(0.15, 0.35, N)
Sig = 0.3 * np.outer(sig, sig)
Sig[np.diag_indices(N)] = sig ** 2
mu = rng.uniform(0.02, 0.10, N)

def mvo(m):
    return np.linalg.solve(gamma * Sig, m)

w0 = mvo(mu)
gross0 = np.abs(w0).sum()
print(f"真实权重: 多头合计 {w0[w0>0].sum():.2f}, "
      f"空头合计 {w0[w0<0].sum():.2f}")

for noise in [0.005, 0.01, 0.02]:
    chg, flip = [], []
    for _ in range(500):
        w1 = mvo(mu + noise * rng.standard_normal(N))
        chg.append(np.abs(w1 - w0).sum() / gross0)
        flip.append(np.mean(np.sign(w1) != np.sign(w0)))
    print(f"mu 误差 {noise:.1%}: 权重平均变动 {np.mean(chg):.0%}, "
          f"平均 {np.mean(flip):.0%} 的资产多空方向翻转")