因子投资基础

第 1 问：np.polyfit(beta, R.mean(axis=0), 1) 就够了。第 2 问：时序回归的 t 统计量 = 估计值 / 标准误，标准误可用 残差方差 / (T * var(f)) 推出截距的方差公式，或直接用 statsmodels 的 OLS。第 3 问的关键：α 的 t 值随 $\sqrt{T}$ 增长，月度 α=0.5%、特质波动 6% 时，信噪比大约是 0.083/月，想让 t 超过 2 需要多少个月？

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)
N, T = 50, 600
lam_M, sig_M = 0.006, 0.045
beta = rng.uniform(0.5, 1.5, N)
f = lam_M + sig_M * rng.standard_normal(T)
eps = 0.06 * rng.standard_normal((T, N))
R = f[:, None] * beta[None, :] + eps

# --- (1) 截面回归：平均收益 对 beta ---
slope, intercept = np.polyfit(beta, R.mean(axis=0), 1)
print(f"截距 = {intercept:.4%}（应≈0）, 斜率 = {slope:.4%}（应≈{lam_M:.2%}）")

# --- (2) 加入真 alpha 资产，时序回归 ---
def alpha_tstat(T_use, alpha_true=0.005, seed=7):
    r = np.random.default_rng(seed)
    f2 = lam_M + sig_M * r.standard_normal(T_use)
    R51 = alpha_true + 1.0 * f2 + 0.06 * r.standard_normal(T_use)
    X = np.column_stack([np.ones(T_use), f2])
    coef, res_ss, *_ = np.linalg.lstsq(X, R51, rcond=None)
    resid = R51 - X @ coef
    s2 = resid @ resid / (T_use - 2)
    cov = s2 * np.linalg.inv(X.T @ X)
    return coef[0], coef[0] / np.sqrt(cov[0, 0])

a600, t600 = alpha_tstat(600)
a120, t120 = alpha_tstat(120)
print(f"T=600: alpha={a600:.4%}, t={t600:.2f}")   # t 约 2 上下，勉强显著
print(f"T=120: alpha={a120:.4%}, t={t120:.2f}")   # t 明显小于 2，无法拒绝

要点：α 的 t 值近似为 $\dfrac{\alpha}{\sigma_{\varepsilon}}\sqrt{T}$。月 α=0.5%、特质波动 6%，信息比率约 0.083/月，需要 $T \approx (2/0.083)^2 \approx 580$ 个月（近 50 年！）才能稳定地"证明"它显著。十年的月度数据几乎不可能从统计上确认一个真实存在的、每年 6% 的 α——这就是第 2 章要用更精细的方法、第 6 章要警惕 p-hacking 的根本原因：好 α 难证真，假 α 却容易蒙混过关。

(1) 协方差算子对常数向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 不敏感，故 $\boldsymbol{\Sigma} = \Cov(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\lambda}_t + \boldsymbol{\varepsilon}_t) = \boldsymbol{\beta}\Cov(\boldsymbol{\lambda}_t)\boldsymbol{\beta}^{\top} + \boldsymbol{\beta}\Cov(\boldsymbol{\lambda}_t,\boldsymbol{\varepsilon}_t) + \Cov(\boldsymbol{\varepsilon}_t,\boldsymbol{\lambda}_t)\boldsymbol{\beta}^{\top} + \Cov(\boldsymbol{\varepsilon}_t)$。 用到假设 $\Cov(\boldsymbol{\lambda}_t,\boldsymbol{\varepsilon}_t)=0$ 消去中间两项（β 视为非随机常数矩阵），即得结论。

(2) 会多出 $\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\Sigma}_{\lambda\varepsilon} + \boldsymbol{\Sigma}_{\lambda\varepsilon}^{\top}\boldsymbol{\beta}^{\top}$ 两项，其中 $\boldsymbol{\Sigma}_{\lambda\varepsilon}=\Cov(\boldsymbol{\lambda}_t,\boldsymbol{\varepsilon}_t)$。

(3) 同一行业的两家公司（如两家白酒企业）会同时受行业新闻冲击，若模型里没有行业因子，这部分共同波动就留在 $\varepsilon$ 里，使 $\boldsymbol{\Sigma}_{\varepsilon}$ 出现正的非对角元素。假设对角阵会低估持有同行业多只股票的组合风险——共同波动被当成可分散的特质波动"分散掉"了，而实际上分散不掉。这正是 Barra 类模型必须加入行业因子的原因（第 7 章）。

因子模型这边：对每只股票做 250 天收益对 3 个因子收益的时序 OLS 得 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$（用矩阵形式一次算完：B = R.T @ F @ inv(F.T @ F)，先中心化）；$\hat{\boldsymbol{D}}$ 取残差方差的对角阵。组合预测波动率 $=\sqrt{\boldsymbol{w}^{\top}\hat{\boldsymbol{\Sigma}}\boldsymbol{w}}$，与检验窗口的实现波动率比较平均绝对误差。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
N, K, T = 400, 3, 250

# 真实结构
B_true = rng.normal(0, 1, (N, K)) * np.array([1.0, 0.5, 0.3])
sig_f = np.array([0.010, 0.006, 0.004])       # 因子日波动
sig_e = rng.uniform(0.01, 0.03, N)            # 特质日波动

def simulate(T):
    F = rng.standard_normal((T, K)) * sig_f
    E = rng.standard_normal((T, N)) * sig_e
    return F, F @ B_true.T + E

F_in, R_in = simulate(T)      # 估计窗口
_,   R_out = simulate(250)    # 检验窗口（同一真实结构的新样本）

# (a) 样本协方差（T < N，奇异但仍可算二次型）
Rc = R_in - R_in.mean(0)
S_sample = Rc.T @ Rc / (T - 1)

# (b) 因子模型协方差
Fc = F_in - F_in.mean(0)
B_hat = np.linalg.solve(Fc.T @ Fc, Fc.T @ Rc).T      # N x K
resid = Rc - Fc @ B_hat.T
D_hat = np.diag(resid.var(0, ddof=K + 1))
Sig_f = np.cov(F_in.T)
S_factor = B_hat @ Sig_f @ B_hat.T + D_hat

# 比赛：200 个随机 30 股等权组合
err_s, err_f = [], []
for _ in range(200):
    idx = rng.choice(N, 30, replace=False)
    w = np.zeros(N); w[idx] = 1 / 30
    realized = R_out @ w
    vol_true = realized.std(ddof=1)
    for S, err in [(S_sample, err_s), (S_factor, err_f)]:
        vol_pred = np.sqrt(w @ S @ w)
        err.append(abs(vol_pred - vol_true) / vol_true)

print(f"样本协方差 平均相对误差: {np.mean(err_s):.1%}")
print(f"因子模型   平均相对误差: {np.mean(err_f):.1%}")

典型结果：因子模型的误差显著更小（往往只有样本协方差的一半左右）。原因：样本协方差要从 250 个观测里估出 $400\times401/2 \approx 8$ 万个参数，噪声淹没了信号，且矩阵奇异意味着存在"预测波动为零"的伪套利方向；因子模型只估 $400\times3 + 6 + 400 \approx 1600$ 个参数，牺牲一点灵活性换来了巨大的稳定性。这就是式 (1.6) 的实战价值。

矩阵秩的性质：$\mathrm{rank}(\boldsymbol{S}) = \mathrm{rank}(\boldsymbol{X}^{\top}\boldsymbol{X}) = \mathrm{rank}(\boldsymbol{X}) \le \min(T, N)$。又因去均值使 $\boldsymbol{X}$ 的行向量和为零向量，秩至多为 $T-1$。故 $T \le N$ 时 $\mathrm{rank}(\boldsymbol{S}) \le T-1 < N$，$N$ 阶方阵秩亏，必然奇异。

荒谬后果：奇异意味着存在非零权重向量 $\boldsymbol{w}$ 使 $\boldsymbol{w}^{\top}\boldsymbol{S}\boldsymbol{w} = 0$——模型认为存在"零风险"的非平凡组合。均值–方差优化器会疯狂加杠杆押注这些方向（它们只是样本中的巧合），实盘中风险巨大。这就是脚注里"协方差矩阵的逆出现在最优权重表达式中"的深意：优化器对协方差估计误差极其敏感，垃圾进、杠杆化的垃圾出。

必要条件角度：（1）共同运动——笔画数没有理由驱动收益率的协同波动，可检验：按笔画数分组的组合收益率之间是否有超出市场因子的共同成分；（2）被定价——不存在任何经济学机制说明市场应当为"笔画风险"支付溢价。两个条件都高度存疑，X 几乎不可能是定价因子，顶多是异象候选。

数据窥探角度：笔画数是典型的"查看数据后编出的假设"。考虑研究员可能尝试过的所有荒诞变量（拼音首字母、代码尾号……），在几百次隐性尝试下，t=2.3 完全在多重检验的运气范围内（第 6 章：当代标准要求 t 至少 3.0 以上）。

联合假说角度：8% 的"超额"是相对于哪个模型算的？若只用市场单因子模型，X 可能只是暗中暴露于规模或流动性因子（小盘股名称可能系统性地更长/更短），α 是模型遗漏因子的伪装。

应补检验（任四）：① 换用 FF3/FF5 等更强模型重算 α；② 检查组合在规模、价值、流动性上的暴露；③ 严格样本外检验（2024 之后新数据 / 其他市场）；④ 提高 t 值门槛并做 Bonferroni 类多重检验校正；⑤ 扣除交易成本后的净收益；⑥ 子样本稳健性（分年份、分市值段）。核心逻辑：没有经济学故事的统计显著，默认按运气处理。

流程：① 取基金月度收益减无风险利率得 $R^e_t$；② 选一组 A 股适用的因子（市场、规模 SMB、价值 HML 起步，第 4 章会给出更适合 A 股的组合）；③ 做时序回归 $R^e_t = \alpha + \beta_1 MKT_t + \beta_2 SMB_t + \beta_3 HML_t + \varepsilon_t$；④ 看 $\hat\alpha$ 的大小和 t 值（用第 2 章的 Newey–West 标准误），并看 $R^2$——$R^2$ 越高，说明收益越大程度上是因子暴露的结果；⑤ 稳健性：滚动窗口检查暴露是否稳定（风格漂移）。

预期结果：重仓小市值 + 低估值意味着 SMB、HML 暴露显著为正，5% 的"超额"多半会被两个 β 吃掉大半——这与 Bender 等人（2014）"主动收益 80% 可由因子暴露解释"的结论一致。

投资者对策：若 α 不显著，就不该为这份收益支付主动管理费——同样的因子暴露可以用费率低得多的 Smart Beta 产品复制（规模 + 价值 ETF 组合）。这就是"不要用 α 的价格买 β"：主动费用只应支付给回归后仍然显著的那部分 α。